欧几里得 $\Phi^4_3$ 量子场论的偏微分方程构造

我们基于偏微分方程论证，给出了 $\mathbb{R}^3$ 上欧几里得 $\Phi^4$ 量子场论的一种新构造。更确切地说，我们考虑 $\mathbb{R}^3$ 上随机量化方程在网格尺寸为 $\varepsilon$、边长为 $M$ 的周期格点上的近似。我们引入加权空间中的一种新的重整化能量方法，并证明了当 $\varepsilon \rightarrow 0$、$M \rightarrow \infty$ 时相应 Gibbs 测度的紧性。每个极限点都是非高斯的，并且满足反射正性、平移不变性和拉伸指数可积性。这些性质使得除了旋转不变性和聚类性之外，可以验证欧几里得 QFT 的 Osterwalder--Schrader 公理。我们的论证适用于任意正耦合常数、具有 $O(N)$ 对称性的多分量模型以及一些长程变体。此外，我们建立了一个分部积分公式，从而导出欧几里得关联函数的 Dyson--Schwinger 方程族。为此，我们将重整化三次项识别为欧几里得场空间上的一个\emph{分布}。