量子场论中大 N 问题的随机 PDE 方法：综述

在本综述中，我们回顾了关于量子场论中大 N 问题、随机量子化与奇异随机 PDE 及其平均场极限问题的一些近期严格结果。我们特别讨论了二维与三维环面上的 O(N) 线性 $\sigma$ 模型。随机量子化过程导出了由 N 个相互作用的 $\Phi^4$ 方程构成的耦合系统。在 d = 2 中，我们证明了动力学关于 N 的一致界及其向平均场奇异 SPDE 的收敛。对于足够大的质量或足够小的耦合常数，不变测度（即 O(N) 线性 $\sigma$ 模型）在 Wasserstein 距离下收敛于有质量高斯自由场，即平均场动力学的唯一不变测度。我们还得到了某些 O(N) 不变可观测量作为随机场在合适 Besov 空间中当 $N\to \infty$ 时的紧性，以及对极限相关性的精确描述。在 d = 3 中，由于方程更为奇异，估计变得更加复杂。我们讨论了在此情况下如何证明向有质量高斯自由场的收敛。这些结果的证明建立在奇异 SPDE 理论的近期进展之上，并结合了诸如关于 N 的一致估计与动力学平均场理论等许多新技术。这些内容基于与 Scott Smith、Rongchan Zhu 和 Xiangchan Zhu 合作的论文。