三维$O(N)$线性σ模型的大$N$极限

本文研究三维环面上$O(N)$不变的线性σ模型(即$\Phi^4$量子场论的向量值推广)的大N极限。我们通过其随机量化研究该问题,这给出一组N个相互作用的SPDE耦合系统。我们证明了大N极限下不变测度的紧性。对于足够大的质量或足够小的耦合常数,它们以$1/\sqrt N$的速率相对于Wasserstein距离收敛到(有质量)高斯自由场。我们还获得了某些$O(N)$不变观测量的紧性结果。这些将\cite{SSZZ20}中的部分结果从二维推广到三维。证明利用了\cite{GH18}近期发展的方法,并结合了许多新技术,例如对微扰对象及解的一致于N的估计。