结点上的守恒律与 Hamilton-Jacobi 方程：凸情形
偏微分方程分析
2023-11-14 v1
摘要
本文旨在研究特殊网络上 Hamilton-Jacobi（HJ）方程解与标量守恒律（SCL）解之间的联系。当方程定义于实轴上时，众所周知 HJ 方程解的空间导数即为相应标量守恒律的解。在网络上情形更为复杂，我们证明该结果在 1:1 结点上的凸情形中依然成立。我们通过展示相关数值格式的收敛性，建立了 1:1 结点上 HJ 方程与 SCL 解的对应关係。同时给出了一个基于半代数函数的直接证明。此处 1:1 结点是由两条边与一个顶点构成的简单网络。在三条或更多边的情形下，我们证明相关的 HJ 芽并非 L 1-耗散芽，而仅两条边时则不然。作为我们数值方法的重要副产品，我们得到了结点上标量守恒律数值格式收敛性的一项新结果。对于经离散化的通用期望通量条件，我们证明带该通用通量条件的数值解收敛于具有结点处有效通量条件的 SCL 问题之解。据我们所知，先前工作中有效条件被直接植入数值格式。一般而言，有效通量条件不同于期望条件，且为其松弛，从 Hamilton-Jacobi 方程视角看十分自然。此处对于 SCL，该有效通量条件被编码于我们在结点处刻画的芽中。
引用
@article{arxiv.2311.07177,
title = {Conservation law and Hamilton-Jacobi equations on a junction: the convex case},
author = {Pierre Cardaliaguet and Nicolas Forcadel and Theo Girard and Regis Monneau},
journal= {arXiv preprint arXiv:2311.07177},
year = {2023}
}