关于标量守恒律与 Hamilton-Jacobi 方程在 1:1 连接处压缩半群的注记

我们证明，$L^1$ 上任何满足 (i) $L^1-$压缩性，(ii) 在 $\mathbb{R}_+\times (\mathbb{R}\backslash\{0\})$ 中满足守恒律 $\partial_t \rho+\partial_x(H(x,\rho))=0$（对于空间不连续通量 $H(x,p)= H^l(p) {\bf 1}_{x<0}+ H^r(p) {\bf 1}_{x>0}$），且 (iii) 满足自然连续性与标度性质的连续半群，必然由连接处的核条件给出：$\rho(t,0)\in \mathcal G$ a.e.，其中 $\mathcal G$ 是一个极大、$L^1-$耗散且完备的核。对称地，我们证明，$L^\infty$ 上任何满足 (i) $L^\infty-$压缩性，(ii) 在 $\mathbb{R}_+\times (\mathbb{R}\backslash\{0\})$ 中满足 Hamilton-Jacobi 方程 $\partial_t u+H(x,\partial_x u)=0$（对于如上所述的空间不连续 Hamiltonian $H$），且 (iii) 满足自然连续性与标度性质的连续半群，必然由 Hamilton-Jacobi 方程的通量受限解给出。