线性集成卡尔曼反演的完全确定性动力学与谱分解

用于求解形如 $y = A u +\varepsilon$ 的贝叶斯反问题的集成卡尔曼反演（EKI），其中 $u$ 为未知参数，$y$ 为给定数据，$\varepsilon$ 为测量噪声，通常从序贯蒙特卡洛的观点导出，是一种强有力的工具。它描述了一组粒子 $\{u^j(t)\}_{j=1}^J$ 的动力学，其初始经验测度从先验中采样，在人工时间 $t$ 上演化以逼近反问题的解，$t=1$ 模拟后验，$t\to\infty$ 对应于反问题的欠正则化最小范数解。利用谱技术，我们给出了 EKI 确定性动力学及其在参数空间中渐近行为的完整描述。特别地，我们分析了朴素 EKI 与平均场 EKI 的动力学，并特别关注它们的时域渐近行为。此外，我们表明——即使在确定性情形下——参数空间中的残差在欧氏范数下并非单调下降，并提出了一种问题适配的范数，可在该范数下证明单调性。最后，我们导出了一组控制协方差矩阵谱与特征向量的常微分方程。尽管分析针对 EKI，我们相信它可用于理解更一般的基于粒子的动力系统。