特殊纤维环的 Cohen-Macaulay 性质

设 $(R, {\mathfrak m})$ 为 Noether 局部环，$I$ 为 $R$-理想。受 Hübl 与 Huneke 工作的启发，我们寻求保证 $I$ 的特殊纤维环 ${\mathcal F}={\mathcal R}/{\mathfrak m}{\mathcal R}$ 的 Cohen-Macaulay 性的条件，其中 ${\mathcal R}$ 表示 $I$ 的 Rees 代数。我们的关键思想是要求‘良好’的交性质以及低次齐性生成关系的‘少量’。特别地，若 $I$ 是具有 $G_{\ell}$ 与期望归约数的强 Cohen-Macaulay $R$-理想，我们得出结论 ${\mathcal F}$ 总是 Cohen-Macaulay 的。我们也得到对任意 ${\mathfrak m}$-准素理想 $K$，${\mathcal R}/K{\mathcal R}$ 的 Cohen-Macaulay 性的一个刻画：当 $K=I$ 时，该结果恢复了 Valabrega 与 Valla 的一个著名判据。此外，我们研究特殊纤维环 ${\mathcal F}$ 的 Cohen-Macaulay 性质与 Rees 代数 ${\mathcal R}$ 及 $I$ 的伴随分次环 ${\mathcal G}$ 的相应性质之间的关系。最后，我们关注 ${\mathfrak m}I$ 的整闭性。后一问题由演化理论所推动。