相对序列 Cohen-Macaulay 与相对 Cohen-Macaulay 模的若干刻画

设 $M$ 为 Noether 环 $R$ 上的 $R$-模，$\mathfrak{a}$ 为 $R$ 的理想且 $c={\rm cd}(\mathfrak{a},M)$。首先，我们证明 $M$ 是有限 $\mathfrak{a}$-相对 Cohen-Macaulay 的当且仅当对所有 $i\neq c$ 有 ${\rm H}_i(\Lambda_{\mathfrak{a}}({\rm H}_{\mathfrak{a}}^c(M)))=0$ 且 ${\rm H}_c(\Lambda_{\mathfrak{a}}({\rm H}_{\mathfrak{a}}^c(M))) \cong \widehat{M}^{\mathfrak{a}}$。其次，在 $\mathfrak{a}$-相对 Cohen-Macaulay 局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 上，我们用 $R$-模 ${\rm Ext}^{d-i}_{R}(M,{\rm D}_{\mathfrak{a}})$（对所有 $i\geq 0$）的 $\mathfrak{a}$-相对 Cohen-Macaulay 性来刻画 $\mathfrak{a}$-相对序列 Cohen-Macaulay 模 $M$，其中 ${\rm D}_{\mathfrak{a}} = {\rm Hom}_R({\rm H}^d_{\mathfrak{a}}(R),{\rm E}(R/\mathfrak{m}))$ 且 $d={\rm cd}(\mathfrak{a},R)$。最后，我们用局部同调模的消失性 ${\rm H}_j(\Lambda_{\mathfrak{a}}({\rm H}_{\mathfrak{a}}^i(M)))=0$（对所有 $0\leq i\leq c$ 及所有 $j\neq i$）给出 $\mathfrak{a}$-相对序列 Cohen-Macaulay 模 $M$ 的另一种刻画。