无限 Cohen-Macaulay 型环上不可分解模的秩

设$(R,\mathfrak{m},k)$为一个一维解析无分支局部环，其极小素理想为$P_1,\dots,P_s$。我们的最终目标是研究$R$上极大 Cohen-Macaulay 模的直和性质。这种行为由极大 Cohen-Macaulay $R$-模的同构类所构成的幺半群$C(R)$编码：该幺半群的结构揭示了例如每个极大 Cohen-Macaulay 模是否唯一地分解为不可分解模的直和；当唯一性不成立时，该幺半群的不变量给出了该性质失效程度的度量。理解幺半群$C(R)$的关键在于确定不可分解极大 Cohen-Macaulay 模的秩。我们的主要技术结果表明，如果$R/P_1$具有无限 Cohen-Macaulay 型且剩余域$k$是无限的，那么只要$r_1 \ge r_i$对所有$i$成立，就存在$|k|$个互不同构的、秩为$(r_1,\dots,r_s)$的不可分解极大 Cohen-Macaulay $R$-模。这一结果使我们能够描述当$R$的所有解析分支都具有无限 Cohen-Macaulay 型时的幺半群$C(R)$。