特殊纤维锥的重数性与 Buchsbaum 性质之比较

设 $(A,\mathfrak m)$ 为维数 $d>0$ 且剩余域无限的 Noetherian 局部环，$I$ 为 $\mathfrak{m}$-准素理想。设 $\mathcal I$ 为 $I$-good 滤子。我们研究由 Elias 与 Valla 首次给出的 Hilbert 系数等式，与从局部环到 blow-up 代数的 Buchsbaum 性质传递之间的关系。假设 $e_1(\mathcal I)-e_1(Q)=2e_0(\mathcal I)-2\ell(A/I_1)-\ell(I_1/(I_2+Q))$，其中 $Q\subseteq I$ 为 $\mathcal I$ 的极小约化，是标准参数理想。在一些温和条件下，我们证明若 $A$ 是 Buchsbaum（分别为广义 Cohen-Macaulay），则相伴分次环 $G(\mathcal I)$ 是 Buchsbaum（分别为广义 Cohen-Macaulay）。我们的结果在一般情形下解决了 Corso 关于 $I$-good 滤子的一个问题。进一步，令 $f_0(I)= e_1(I)-e_0(I)-e_1(Q)+\ell(A/I)+\mu(I)-d+1$ 且 $e_1(I)-e_1(Q)=2e_0(I)-2\ell(A/I)-\ell(I/(I^2+Q))$。我们在温和条件下证明：(1) 若 $A$ 为广义 Cohen-Macaulay，则特殊纤维环 $F_{\mathfrak{m}}(I)$ 为广义 Cohen-Macaulay；此外，若 $A$ 的深度为正，则 $F_{\mathfrak {m}}(I)$ 的深度与 $A$ 的深度相同；(2) 若 $A$ 为 Buchsbaum 且 depth A$\geq d-1$，则 $F_{\mathfrak{m}}(I)$ 为 Buchsbaum 且 $F_{\mathfrak{m}}(I)$ 的 $I$-不变量与 $A$ 的相同。