关于滤过的 Chern 数

本文研究了局部环 $(A,\m)$ 的第一个 Hilbert 系数（继重数之后的）$e_1$。在多种情形下，它也称为局部环 $A$ 的 Chern 数。从 D.G. Northcott 在 60 年代的工作出发，已经证明了若干给出 Hilbert 系数之间关系的结果，但始终假设基础环的 Cohen-Macaulay 性。S. Goto、K. Nishida、A. Corso 和 W. Vasconcelos 的近期论文将兴趣推向了更一般的情形。本文推广了 S. Huckaba 和 T. Marley 证明的关于 $e_1$ 的上界。由此，我们得到环 $A$ 的 Cohen-Macaulay 性是整数 $e_1$ 极端行为的推论。该结果可视为对 W. Vasconcelos 论文中一般哲学的印证，其中猜想 Chern 数是到 $A$ 的 Cohen-Macaulay 性距离的度量。本文的主要结果源于表层元素的一个优美且或许出人意料的性质。它本质上是局部环的一种“Sally machine”。在最后一节中，我们描述了这些结果的一个应用，涉及非 Cohen-Macaulay 模块的良好滤过的 Sally 模重数的上界。这是 Vaz Pinto 一个结果向非 Cohen-Macaulay 情形的推广。