Galton-Watson树上扩散型随机偏置游走在小世代中的合并

我们研究随机环境中Galton-Watson树$\mathbb{T}$上扩散型偏置游走$\mathbb{X}$的游程范围$\mathcal{R}_T$，即该游走在时间$T$之前访问过的所有不同顶点构成的$\mathbb{T}$的子树。我们研究带约束的范围体积，更确切地说，是该子树中满足遗传条件的不同顶点的$k$元组（$k\geq 2$）的数目，且这些顶点位于小世代中。我们特别关注在Galton-Watson树根上方由$\mathbb{X}$的不同游程所访问的顶点，因为我们观察到它们对该范围给出了主要贡献。作为一个应用，我们研究了从$\mathcal{R}_T$中小世代顶点中均匀选取的$k\geq 2$个不同顶点的系谱。结果表明，其中两个或更多顶点最后一次共享一个共同祖先是在遥远的过去。我们还指出了由于其随机环境而导致的它们系谱树中的遗传特征。