$\mathcal{T}$-度量图上NLS方程正解的分类与稳定性

给定$\lambda>0$和$p>2$，我们给出$\mathcal{T}$-度量图（由两条无界边和一条长度为$\ell>0$的终端边在单一顶点处连接而成）上方程$-u''+\lambda u=|u|^{p-2}u$的正$H^1$-解的完整分类。该研究表明，特别地，作用基态的唯一性。此外，对于$p\sim 6^-$，作用与能量基态的概念不重合且能量基态不唯一。在$L^2$-超临界情形$p>6$下，我们证明了对于$\lambda\sim 0^+$和$\lambda\sim +\infty$，作用基态对于由关联含时NLS方程$i\partial_tu + \partial^2_{xx} u + |u|^{p-2}u=0$生成的流是轨道不稳定的。最后，我们提供了$p\sim 2^+$时能量基态唯一性以及$p\sim6$时存在稳定与不稳定作用基态的数值证据。