加倍度量测度空间上局部化BMO空间中Lusin面积函数与$g_\lambda^\ast$函数的有界性

设${\mathcal X}$是一个加倍度量测度空间。如果${\mathcal X}$对某个$\delta\in (0,\,1]$具有$\delta$-环状衰减性质，则作者建立了由薛定谔算子生成的半群模型核所定义的Lusin面积函数，从局部化空间${\rm BMO}_\rho({\mathcal X})$到${\rm BLO}_\rho({\mathcal X})$的有界性，且无需考虑核的任何正则性。对于$g^\ast_\lambda$函数同样成立，但与Lusin面积函数不同，此时${\mathcal X}$不必具有$\delta$-环状衰减性质。此外，对于任意度量空间，作者引入了弱测地线性质和单调测地线性质，并证明它们分别等价于Buckley的链球性质。回顾一下，Buckley证明了任何长度空间都具有链球性质，并且对于任何配备加倍测度的度量空间，链球性质蕴含对某个$\delta\in (0,1]$的$\delta$-环状衰减性质。此外，利用${\rm bmo}({\mathbb R})$上点态乘子的一些结果，作者构造了一个反例，表明存在一个非负函数属于${\rm bmo}({\mathbb R})$但不属于${\rm blo}({\mathbb R})$；这进一步表明，即使在具有勒贝格测度的${\mathbb R}^d$或海森堡群上，上述Lusin面积函数和$g^\ast_\lambda$函数的有界性也改进了现有结果。