分数阶 Schrödinger-Poisson 系统尖峰解的边界聚集

本文旨在研究如下分数阶 Schrödinger-Poisson 系统尖峰解的存在性：\begin{eqnarray*} \left\{ \arraycolsep=1.5pt \begin{array}{ll} \varepsilon^{2s}(-\Delta)^{s}u+u+\phi u=u^p,\ \ \ &\ \mbox{in}\ \Omega,\\[2mm] (-\Delta)^{s}\phi=u^2,\ \ \ &\ \mbox{in}\ \Omega,\\[2mm] u=\phi=0,\ \ \ \ &\ \mbox{in}\ \mathbb{R}^N\setminus \Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray*} 其中 $s\in(0,1)$，$N>2s$，$p\in (1,\frac{N+2s}{N-2s})$，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中具有 Lipschitz 边界的有界区域，$(-\Delta)^{s}$ 为分数阶拉普拉斯算子，$\varepsilon$ 为小正参数。利用 Lyapunov-Schmidt 约化方法，我们构造了单尖峰解 $(u_\varepsilon,\phi_\varepsilon)$，使得 $u_\varepsilon$ 的尖峰位于区域内但靠近边界。为了刻画解的边界聚集（当 $\varepsilon$ 趋于 0 时，聚集在距边界 $\partial\Omega$ 约 $\varepsilon^{2/3}$ 的近似距离处），使用了一些新的估计与分析技巧。