Schwarzschild 时空中一类非线性波动方程的爆破与寿命估计

在 \cite{Luk} 中,Luk 证明了当二次非线性项满足零条件时,Kerr 时空中小角动量($a\ll M$)的半线性波动方程 $$\Box_{g_K}\phi=F(\partial \phi),$$ 的整体存在性。本文中,我们将证明若零条件不成立,对于 Schwarzschild 时空(即 $a=0$ 的 Kerr 时空特例)中带二次非线性项的半线性波动方程 $$\Box_{g_S}\phi=(\partial_t\phi)^2,$$ 至多只能有几乎整体存在性,其中 $\Box_{g_S}$ 表示与 Schwarzschild 度量相关的 D'Alembert 算子。此外,若非线性项的幂次替换为满足 $3/2\le p< 2$ 的 $p$,无论初值多小,我们仍可以证明爆破发生。我们无需假定数据的支集远离事件视界。