一组波动方程小解的生命跨度

我们研究了$n$维空间中半线性波动方程组$\square u = |v|^p$，$\square v = |\partial_t u|^p$的小初值柯西问题。当$n \geq 2$时，我们证明若$(p, q)$位于$p$-$q$平面上某条曲线下方，则任意小的数据均可导致爆破。另一方面，我们给出了$n=3$时的全局存在性结果，表明该曲线的一部分实际上是全局存在与有限时间爆破之间的分界线。我们还估计了最大存在时间并得到了一个上界，该上界在$(n, p, q)=(2, 2, 2)$和$(3, 2, 2)$时至少是精确的。