与弱零条件相关的非线性波动方程组的整体存在性与爆破解

我们讨论了在 $n\,(\geq 2)$ 维空间中，高阶项 $|u|^q$ $(q>1+2/(n-1))$ 对非线性波动方程组 $$\partial_t^2 u-\Delta u=|v|^p, \qquad \partial_t^2 v-\Delta v=|\partial_t u|^{(n+1)/(n-1)} +|u|^q$$ 的柯西问题小解生命期的非平凡影响。我们证明了在 $pq$ 平面上存在某条“临界曲线”，使得位于该曲线下方的任意 $(p,q)$ $(p,q>1)$ 均出现整体解的不存在性，而恰好位于其上的任意 $(p,q)$ $(p>1+3/(n-1),\,q>1+2/(n-1))$ 对该系统在小初值下存在唯一的整体解。当 $n=3$ 时，上述系统取位于临界曲线上的 $(p,q)=(3,3)$ 的讨论与满足弱零条件的系统的研究相关，并且我们获得了此类系统整体存在性的一个新结果。此外，在 $n=2$ 且 $p=4$ 的特殊情形中观察到，无论 $q$ 多大，高阶项 $|u|^q$ 绝不可忽略，且它本质上影响着小解的生命期。