多维空间中某些半线性波动方程的爆破

本文讨论了一种新的非线性现象。我们发现，在 $n\geq 2$ 维空间中，存在两个指数 $p$ 和 $q$，使得非线性波动方程 {equation} \label{0.1} \Box u(t,x) = |u(t,x)|^{q}, \ \ x\in R^{n}, {equation} 和 {equation} \label{0.2} \Box u(t,x) = |u_{t}(t,x)|^{p}, \ \ x\in R^{n} {equation} 的 Cauchy 问题在小初值下均具有全局存在性；而对于组合非线性项，非线性波动方程 {equation} \label{0.3} \Box u(t,x) = | u_{t}(t,x)|^{p} + |u(t,x)|^{q}, \ \ x\in R^{n}, {equation} 的 Cauchy 问题在小初值下的解将在有限时间内爆破。在二维情形下，我们还发现若 $q=4$，方程 \eqref{0.1} 的 Cauchy 问题具有全局存在性，而方程 {equation} \label{0.4} \Box u(t,x) = u (t,x)u_{t}(t,x)^{2}, \ \ x\in R^{2} {equation} 的 Cauchy 问题具有几乎全局存在性，即对于大小为 $\varepsilon$ 的初值，其寿命至少为 $\exp (c\varepsilon^{-2})$。然而，在组合非线性项情形下，方程 {equation} \label{0.5} \Box u(t,x) = u(t,x) u_{t}(t,x)^{2} + u(t,x)^{4}, \ \ x\in R^{2} {equation} 的 Cauchy 问题对于大小为 $\varepsilon$ 的初值，其寿命量级为 $\varepsilon^{-18}$，这比前两个方程的寿命在量级上显著更短。这解决了完全非线性波动方程一般理论中的一个开放性最优性问题（参见 \cite{Katayama}）。