Sobolev-Bregman 形式的 Beurling-Deny 公式

对于任意正则 Dirichlet 形式 $\mathscr{E}$ 及其相关的对称 Markov 半群 $T_t$，我们考虑相应的 Sobolev-Bregman 形式 $\mathscr{E}_p(u) = -\tfrac{1}{p} \frac{d}{d t}\bigr\vert_{t = 0} \|T_t u\|_p^p$，其中 $p \in (1, \infty)$。我们证明了 $\mathscr{E}_p$ 的 Beurling-Deny 公式的一个变体。作为应用，我们证明了相应的 Hardy-Stein 恒等式。我们的结果扩展了该领域先前的工作，这些工作要么要求 $\mathscr{E}$ 是平移不变的，要么要求 $u$ 充分正则。