基于强局部 Dirichlet 型的 (1,p)-Sobolev 空间

在 $L^2(X;\mathfrak{m})$ 上容许极小 $\mathscr{E}$-支配测度 $\mu$ 的拟正则强局部 Dirichlet 型 $(\mathscr{E},D(\mathscr{E}))$ 框架下，我们在 $L^p(X;\mathfrak{m})$ 上构造了自然的 $p$-能量泛函 $(\mathscr{E}^{\,p},D(\mathscr{E}^{\,p}))$ 以及 $p\in]1,+\infty[$ 时的 $(1,p)$-Sobolev 空间 $(H^{1,p}(X),\|\cdot\|_{H^{1,p}})$。本文中，我们建立了 $(H^{1,p}(X),\|\cdot\|_{H^{1,p}})$ 的 Clarkson 型不等式。作为推论，$(H^{1,p}(X),\|\cdot\|_{H^{1,p}})$ 是一致凸 Banach 空间，因而是自反的。基于 $(H^{1,p}(X),\|\cdot\|_{H^{1,p}})$ 的自反性，我们证明（广义）正规压缩作用于 $(\mathscr{E}^{\,p},D(\mathscr{E}^{\,p}))$ 上，这已在多种具体情形中被证明，但在如此一般框架下尚未被证明。此外，我们证明对开集 $A$，其 $(1,p)$-容量 ${\rm Cap}_{1,p}(A)<\infty$ 容许一个平衡势 $e_A\in D(\mathscr{E}^{\,p})$，满足 $0\leq e_A\leq 1$ $\mathfrak{m}$-几乎处处，且 $e_A=1$ $\mathfrak{m}$-几乎处处在 $A$ 上。