二维与三维对流Brinkman-Forchheimer方程的反向唯一性及其应用

本文考虑环面$\mathbb{T}^d,$ $d\in\{2,3\}$上的二维与三维对流Brinkman-Forchheimer(CBF)方程(或阻尼Navier--Stokes方程):$$\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}-\mu \Delta\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}+\alpha\boldsymbol{u}+\beta|\boldsymbol{u}|^{r-1}\boldsymbol{u}+\nabla p=\boldsymbol{f}, \ \nabla\cdot\boldsymbol{u}=0,$$其中$\mu,\alpha,\beta>0$且$r\in[1,\infty)$为吸收指数。对于$d=2,r\in[1,\infty)$与$d=3,r\in[3,\infty)$(当$d=r=3$时需$2\beta\mu\geq 1$),我们利用对数凸性性质与文献中已有的整体可解性结果,首先证明了确定性CBF方程的反向唯一性。作为反向唯一性结果的直接推论,我们首先导出了关于初值(视为起始控制器)的近似能控性。其次,我们将反向唯一性结果应用于吸引子理论,证明了二维与三维CBF方程整体吸引子的零Lipschitz偏差。通过对数Lipschitz正则性的应用,我们证明了二维与三维CBF流中Lagrangian轨迹的唯一性,以及Lagrangian轨迹相对于Eulerian初值的连续性。最后,我们考虑带线性乘性高斯噪声的随机CBF方程。对于$d=2,r\in[1,\infty)$与$d=3,r\in[3,5]$(当$d=r=3$时需$2\beta\mu\geq 1$),我们证明了路径wise反向唯一性以及经由起始控制器实现的近似能控性。