对对流 Brinkman-Forchheimer 方程的最优控制：动态编程方程与粘性解

在文献 [F. Gozzi 等., \emph{Arch. Ration. Mech. Anal.} {163}(4) (2002), 295--327] 中指出，由于缺乏全局可解性和连续性依赖结果，无法确定与三维 Navier-Stokes 方程 (NSE) 关联的 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程 (HJBE) 的粘性解的存在性和唯一性。然而，通过在 NSE 中加入阻尼项得到的即所谓的 \emph{damped Navier-Stokes 方程} 满足粘性解存在性和唯一性的要求。在本文中，我们在以下两个和三个维数的对流 Brinkman-Forchheimer (CBF) 方程（即阻尼 NSE）的上下文中解决了这一问题： \begin{align*} \frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}-\mu \Delta\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}+\alpha\boldsymbol{u}+\beta|\boldsymbol{u}|^{r-1}\boldsymbol{u}+\nabla p=\boldsymbol{f}, \ \nabla\cdot\boldsymbol{u}=0, \end{align*} 其中 $\mu,\alpha,\beta>0$, $r\in[1,\infty)$。首先我们证明了在超临界范数范围内，关于无限维 HJBE 的粘性解的存在性。对于空间维数 $d=2$，我们考虑非线性指数 $r\in(3,\infty)$，而对于 $d=3$，由于某些技术困难，我们聚焦于 $r\in(3,5]$。当 $r=3$ 时，我们要求 $2\beta\mu\geq 1$ 适用于 $d=2$ 和 $d=3$。接下来，我们推导了覆盖 $r\in(3,\infty)$ 和 $r=3$ 且 $2\beta\mu\geq 1$（ $d\in\{2,3\}$ ）范围内的 HJB 方程的比较原理。这确保了粘性解的唯一性。