斯蒂克氏-哈曼-班贝恩方程与随机对流布里克曼-福克希尔方程最优控制问题的黏性解

本文我们考虑以下二维和三维随机对流布里克曼-福克希尔 (SCBF) 方程在环面 \mathbb{T}^d,\ d\in\{2,3\} 上的情况：\begin{align*} \mathrm{d}\boldsymbol{u}+\left[-\mu \Delta\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}+\alpha\boldsymbol{u}+\beta|\boldsymbol{u}|^{r-1}\boldsymbol{u}+\nabla p\right]\mathrm{d}t=\mathrm{d}\mathrm{W}, \ \nabla\cdot\boldsymbol{u}=0, \end{align*}其中 \mu,\alpha,\beta>0$，$r\in[1,\infty)$且$\mathrm{W}$为 Hilbert 空间值$\mathrm{Q}-$维尔纳过程。上述系统可视为阻尼随机 Navier-Stokes 方程。我们采用动态规划方法，研究SCBF 方程相关联的最优控制问题的无限维二阶哈曼-班贝恩方程。对于超临界情形，即$r\in(3,\infty)$对于$d=2$和$r\in(3,5)$对于$d=3$（$d\in\{2,3\}$时$r=3$且$2\beta\mu\geq 1$），我们首先证明了无限维 HJB 方程的黏性解存在性，这我们与相关控制问题的值函数一致。通过建立$r\in(3,\infty)$和$d\in\{2,3\}$时$r=3$且$2\beta\mu\geq1$ 的比较原理，我们证明了值函数是唯一的黏性解，从而解决了 HJB 方程在二维和三维中的全局唯一可解性。