图上随机 Wasserstein--Hamiltonian 系统最优控制的 Hamilton--Jacobi--Bellman 方程

图上 Hamiltonian 动力学的随机最优控制问题在力学和量子场论中有广泛的应用，特别是在具有基于图结构的系统中。在本文中，我们建立了一类源于图上随机 Wasserstein--Hamiltonian 系统最优控制的新型 Hamilton--Jacobi--Bellman (HJB) 方程粘性解的存在性与唯一性。这些 HJB 方程的一个显著特征是同时涉及图上 Wasserstein 空间的 Wasserstein 几何和物理空间中的欧几里得几何。非线性几何结构以及由基于图的状态方程引起的对数势进一步增加了分析的复杂性。为了应对这些挑战，我们在变量加倍框架内引入了一种能量截断技术，专门用于处理图上内部定义的 Wasserstein 空间与无界欧几里得空间之间的相互作用。特别是，我们的研究结果证明了与具有多项式非线性的随机 Schrödinger 方程和图上随机对数 Schrödinger 方程最优控制问题相关的 HJB 方程的适定性。据我们所知，这项工作首次为图上 SWHS 的最优控制开发了 HJB 方程。