具有记忆的状态方程最优控制的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程

本文致力于具有记忆的状态方程的最优控制，形式为：$x(t) = F(x(t), u(t), \int_0^{+\infty} A(s) x(t-s) ds), t>0$，初始条件为 $x(0)=x, x(-s)=z(s), s>0$。记 $y_{x,z,u}$ 为上述柯西问题的解，并定义 $v(x,z):=\inf_{u\in V} \{\int_0^{+\infty} e^{-\lambda s} L(y_{x,z,u}(s), u(s))ds\}$，其中 $V$ 是一类容许控制。我们证明 $v$ 是如下形式的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的唯一粘性解：$\lambda v(x,z) + H(x,z, \nabla_x v(x,z)) + \langle D_z v(x,z), \dot{z} \rangle \ge 0$，这是在 M. Crandall 和 P.-L. Lions 的无穷维粘性解理论意义下的。