二维随机对流 Brinkman-Forchheimer 方程的 Kolmogoroff 方程：分析与应用

本文考察如下二维随机对流 Brinkman-Forchheimer (SCBF) 方程于有界光滑域 $\mathcal{O}$ 中的情形：\n\begin{align*} \mathrm{d}\boldsymbol{u}+\left[-\mu \Delta\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}+\alpha\boldsymbol{u}+\beta|\boldsymbol{u}|^{r-1}\boldsymbol{u}+\nabla p\right]\mathrm{d}t&=\sqrt{\mathrm{Q}}\mathrm{W}, \ \nabla\cdot\boldsymbol{u}=0, \end{align*}其中 $\mu,\alpha,\beta>0$，$r\in\{1,2,3\}$，$\mathrm{Q}$ 为迹型算子，$\mathrm{W}$ 为 Hilbert 空间 $\mathbb{H}$ 中的圆柱维纳过程。就黏性系数 $\mu$ 和达西系数 $\alpha$ 作下述假设：存在正常数 $\gamma_1$，使\n\begin{equation*} \mu(\mu+\alpha)^2>\gamma_1\max\{4\mathrm{Tr}(\mathrm{Q}),\mathrm{Tr}(\mathrm{A}^{2\delta}\mathrm{Q})\}, \end{equation*}其中 $\mathrm{A}$ 为黏性算子，$\delta\in(0,\frac{1}{2})$，本文首要目标是在空间 $\mathbb{L}^2(\mathbb{H};\eta)$ 中求解相应 Kolmogoroff 方程，其中 $\eta$ 为 2D SCBF 方程唯一不变测度。随后，我们建立著名的“卡雷-杜-坎普”恒等式。解的导数估计是证明关键要素。我们还考虑两个来自实际应用的控制问题。第一个是无限期控制问题，我们证明了其哈尔金-雅比布-贝尔曼方程的解的存在性。最后，借助 $m$ -accretive 理论，我们展示了对应于 2D SCBF 方程停止时间问题的 Kolmogoroff 算子所对应的障碍问题的唯一解的存在性。