某些无界域上二维与三维随机对流 Brinkman-Forchheimer 方程的随机吸引子

本文考虑由不规则加性白噪声驱动的二维与三维随机对流 Brinkman-Forchheimer（2D 和 3D SCBF）方程 $$\mathrm{d}\boldsymbol{u}-[\mu \Delta\boldsymbol{u}-(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}-\alpha\boldsymbol{u}-\beta|\boldsymbol{u}|^{r-1}\boldsymbol{u}-\nabla p]\mathrm{d} t=\boldsymbol{f}\mathrm{d} t+\mathrm{d}\mathrm{W},\ \nabla\cdot\boldsymbol{u}=0,$$ 其中 $r\in[1,\infty),\ \mu,\alpha,\beta>0$，定义于无界域（如 Poincaré 域）$\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$（$d=2,3$），$\mathrm{W}(\cdot)$ 为某给定带滤概率空间上的 Hilbert 空间值 Wiener 过程，并讨论其解的渐近行为。对 $d=2$ 且 $r\in[1,\infty)$ 以及 $d=3$ 且 $r\in[3,\infty)$（当 $d=r=3$ 时要求 $2\beta\mu\geq 1$），我们首先利用 Faedo-Galerkin 逼近技术，证明了 Poincaré 域中由不规则加性白噪声驱动的 SCBF 方程弱解（分析意义下）的存在唯一性并满足能量等式。由于 SCBF 方程的能量等式并非显然，我们构造了在 Lebesgue 与 Sobolev 空间中同时收敛的序列，从而有助于证明能量等式。进而，我们建立了 SCBF 方程生成的随机流之随机吸引子的存在性。与不规则白噪声相关的技术困难之一借助相应的 Cameron-Martin 空间（或再生核 Hilbert 空间）得以克服。最后，我们给出了定义于 Poincaré 域（有界或无界）上 2D 与 3D SCBF 方程唯一不变测度的存在性。此外，我们就上述结果向一般无界域的推广给出了注记。