受次微分扰动的二维与三维对流 Brinkman-Forchheimer 方程及其在控制问题中的应用

本文考虑 $d$ 维环面上的如下带势的对流 Brinkman-Forchheimer (CBF) 方程（或阻尼 Navier-Stokes 方程）\begin{equation*} \frac{\partial \boldsymbol{y}}{\partial t}-\mu \Delta\boldsymbol{y}+(\boldsymbol{y}\cdot\nabla)\boldsymbol{y}+\alpha\boldsymbol{y}+\beta|\boldsymbol{y}|^{r-1}\boldsymbol{y}+\nabla p+\Psi(\boldsymbol{y})\ni\boldsymbol{g},\ \nabla\cdot\boldsymbol{y}=0, \end{equation*} 其中 $d\in\{2,3\}$, $\mu,\alpha,\beta>0$ 且 $r\in[1,\infty)$。对于 $d=2$ 且 $r\in[1,\infty)$ 以及 $d=3$ 且 $r\in[3,\infty)$（当 $d=r=3$ 时要求 $2\beta\mu\geq 1$），我们借助 \textsf{\emph{$m$-增生算子的抽象理论}} 建立了上述多值问题 \textsf{\emph{唯一全局强解}} 的存在性。此外，我们证明了对于 $d=3$ 且 $r\in[1,3)$ 以及 $d=r=3$ 且 $2\beta\mu<1$ 的情形，同样的结果在 \textsf{\emph{时间局部}} 成立。在证明中，我们探讨了非线性及多值算子的 $m$-增生性、Yosida 逼近及其性质，以及若干高阶能量估计。对于 $r\in[1,3]$，我们对 Navier-Stokes 非线性项 $(\boldsymbol{y}\cdot\nabla)\boldsymbol{y}$ 进行量子化（修正）以建立存在唯一性结果；而对于 $r\in[3,\infty)$（当 $r=3$ 时要求 $2\beta\mu\geq1$），我们通过非线性阻尼项 $\beta|\boldsymbol{y}|^{r-1}\boldsymbol{y}$ 处理 Navier-Stokes 非线性项。最后，我们讨论了上述所发展理论在反馈控制问题（如流不变性、时间最优控制与镇定）中的应用。