临界情形下 $p$-容量的渐近性

在本注记中，我们关注当 $n\to\infty$ 时原点与集合 $nB$ 之间 $p$-容量的渐近性，其中 $B$ 是格 $\mathbb Z^d$ 的单位球的边界。$p$-容量定义为狄利克雷能量 $\frac{1}{2}\sum_{x\in \mathbb Z^d} \sum_{y\sim x} |f(x)-f(y)|^{p}$ 在边界条件 $f(0)=0$ 且 $f\geq 1$ 于 $nB$ 上的最小值。该变分问题尤其出现在首达渗流大偏差的研究中。对于 $p<d$，$p$-容量收敛到某正常数；而对于 $p>d$，容量以多项式速度消失。本文处理 $p=d$ 的情形，我们证明 $p$-容量以 $c_d (\log n)^{-d+1}$ 的速度消失，其中 $c_d$ 为显式常数。