黎曼几何中四个渐近几何量的关系

本文研究了完备非紧黎曼流形上三个几何量的大$p$渐近行为：紧集的$p-$容量、第一Dirichlet $p-$特征值以及Maz'ya常数，从而为研究此类流形提供了新的视角。我们引入了无穷容量$\mathcal{C}(\Omega)$、无穷特征值$\Lambda(M)$和Maz'ya极限$\mathcal{M}(M)$，并建立了对于任意$\Omega\subset M$的一般不等式：$$\mathcal{V}(M) \ge \mathcal{C}(\Omega) \ge \Lambda(M) = \mathcal{M}(M),$$ 其中$\mathcal{V}(M)$是体积熵。在诸如球的等周控制、旋转对称性或曲率有界等几何条件下，这些量相等且等于$\mathcal{V}(M)$或维数。我们还提供了显示严格不等式成立的例子。