带缺陷线的亚临界渗流

我们考虑 $\mathbb{Z}^d$ 最近邻边上的 Bernoulli 键渗流过程 $\mathbb{P}_{p,p'}$，这些边以概率 $p<p_c$ 独立开放，除了位于第一坐标轴上的边，其开放概率为 $p'$。定义 $$\xi_{p,p'}:=-\lim_{n\to\infty}n^{-1}\log \mathbb{P}_{p,p'}(0\leftrightarrow n\mathbf {e}_1)$$ 以及 $\xi_p:=\xi_{p,p}$。我们证明存在 $p_c'=p_c'(p,d)$，使得当 $p'<p_c'$ 时 $\xi_{p,p'}=\xi_p$，当 $p'>p_c'$ 时 $\xi_{p,p'}<\xi_p$。此外，$p_c'(p,2)=p_c'(p,3)=p$，且对于 $d\geq 4$ 有 $p_c'(p,d)>p$。我们还分析了在维度 $d=2,3$ 中当 $p'\downarrow p_c'$ 时 $\xi_p-\xi_{p,p'}$ 的行为。最后，我们证明当 $p'>p_c'$ 时，以下纯指数渐近行为成立：$$\mathbb {P}_{p,p'}(0\leftrightarrow n\mathbf {e}_1)=\psi_de^{-\xi_{p,p'}n}\bigl(1+o(1)\bigr)$$ 其中 $\psi_d=\psi_d(p,p')$ 为某个常数，对足够大的 $n$ 一致成立。这项工作给出了钉扎类问题严格分析的首批结果，这些结果超越了有效模型且不依赖于精确计算。