非局部 $p$-瑞利商的非渐近行为

设 $N\geq 1$，$s,k\in(0,1)$，$p\in(1,\infty)$。设 $t>1$，开有界集 $\Omega\subset\mathbb R^N$，$R$ 为 $\Omega$ 的半径。令 $B_{tR}(\Omega)$ 为包含 $\Omega$、半径为 $tR$ 且与 $\Omega$ 同心的球。在本文中，我们研究第一个 $(s,p)$-特征值及相应第一个 $(s,p)$-特征函数在逼近 $k\rightarrow s$ 过程中的渐近行为。我们表明，在 $k\rightarrow s^-$ 的间断方向与 $k\rightarrow s^+$ 的连续方向之间呈现出不同现象，这可由具有正 Besov 容量的边界点上特征函数的行为所触发。这一差异促使我们研究算子 $(-\Delta_p)^s$ 在不规则边界点上的边界行为。我们还刻画了当 $k\rightarrow s^-$ 时连续情形的一些等价形式。最后，基于 Cantor 集的 Besov 容量正性以及由 P. Lindqvist 和 O. Martio 所用的直至正则边界点的精细衰减估计，我们构造了 $k\rightarrow s^-$ 间断情形的反例。证明通过将 $\widetilde W^{s,p}_0(\Omega)$ 约化到此处引入的所谓相对非局部空间 $\widetilde W^{s,p}_{0,tR}(\Omega)$ 来实现，该空间等价于 $\widetilde W^{s,p}_0(\Omega)$，其中 $\widetilde W^{s,p}_0(\Omega)$ 定义为 $C^\infty_0(\Omega)$ 在 Gagliardo 半范数 $W^{s,p}(\mathbb R^N)$ 下的完备化，而 $\widetilde W^{s,p}_{0,tR}(\Omega)$ 定义为 $C^\infty_0(\Omega)$ 在 Gagliardo 半范数 $W^{s,p}(B_{tR}(\Omega))$ 下的完备化。作为一个部分结果，我们建立了算子 $(-\Delta_p)^s$ 在 $\widetilde W^{s,p}_0(\Omega)$ 与其对偶空间 $\widetilde W^{-s,p^\prime}(\Omega)$ 之间的同胚性，其中 $1/p+1/p^\prime=1$。