各向同性曲面的面积比较结果

考虑 2-平面 P ⊂ ℂ^n, 并设 D 为 P 中具有分段光滑边界的有界区域。令 I(D) 为 ℂ^n 中所有与 D 有相同边界的分段光滑各向同性曲面的面积下确界。则 I(D) = λ_P^n · Area(D)。若 P 非复平面, 则 λ_P^n < 3π/(2√2)。对于复平面 ℂ ⊂ ℂ^n, 有 λ_ℂ^n ≥ 2, λ_ℂ^2 ≥ 3, 并且 3π^2/(2√2) 是嵌入于 ℂ^n 中、边界为 ℂ 中单位圆的显式哈密顿平稳各向同性 Möbius 带的面积。作为推论, 辛流形中的紧致曲面 Σ(可能有边界)可被面积 ≤ 3π/(2√2) Area(Σ) 的各向同性曲面逼近。另一推论是 ℂ^n 中长度为 l 的闭曲线界定面积 ≤ 3l^2/(8√2) 的各向同性曲面。一个相关结果如下: 考虑 ℂP^1 ⊂ ℂP^n, 并设 D 为 ℂP^1 中的区域。令 I(D) 为 ℂP^n 中所有与 D 有相同边界、且表示与 D 相同的模 2 相对同调类的各向同性曲面的面积下确界。则 2 · Area(D) ≤ I(D) ≤ λ_ℂ^n · Area(D)。 moreover 当 D=ℂP^1 时第一个不等式取等号。