$\mathbb{O}$ 中的迷向曲面与可积系统

我们在 $\mathbb{O}$ 中定义迷向曲面的概念，即某些典范辛形式在其上消失的曲面。利用 $\mathbb{O}$ 中的叉积，我们定义映射 $\rho\colon Gr\_2(\mathbb{O})\to S^6$，从 $\mathbb{O}$ 的 Grassmannian 到 $S^6$。这使我们能将 $\mathbb{O}$ 的每个曲面 $\Sigma$ 联系到一个函数 $\rho\_{\Sigma}\colon \Sigma\to S^6$。然后我们证明，$\rho\_{\Sigma}$ 为调和的 $\mathbb{O}$ 中迷向曲面是一个完全可积系统的解。利用 loop groups 我们构造了这些曲面的 Weierstrass 型表示。通过限制到 $\mathbb{H}\subset\mathbb{O}$，我们作为特例得到了 $\mathbb{R}^4$ 的 Hamilton 平稳 Lagrangian 曲面，而通过限制到 $\text{Im}(\mathbb{H})$ 我们得到了 $\mathbb{R}^3$ 的 CMC 曲面。