Dax 不变量、灯泡与辨识同伯的符号结构
几何拓扑
2026-02-03 v5
摘要
本文解决了关于 4 维流形的若干同伪问题。首先，我们对 Σ 在 Σ×S² 中嵌入的同伪类进行分类，这些嵌入几何上等价于 {点}×S²，其中 Σ 为闭 Oriented 曲面且正曲率；我们证明存在无数此类嵌入彼此同伴但互不同伦，从而解答了 Gabai 的问题。通过将此构造与符号拓扑技术相结合，我们也解答了 McDuff-Salamon 问题列表中问题 2(a) 以及 Cieliebak-Eliashberg-Mishachev 的问题，这些问题涉及闭 4 维流形上符号结构的唯一性和 h-原理。我们通过以下结果来回答这些问题：(1) 每个无理 ruled 表面上符号形式的空间在同仿同一符号形式的情形下拥有无数个连通分支；(2) 每个无理 ruled 表面上存在无数符号形式，它们形式上同伪、上同伪，但彼此不同伦。这是闭 4 维流形上首个此类例子。证明基于对嵌入闭曲面 Dax 不变量的推广。在证明过程中，我们获得了 Σ×S² 光滑映射类群的若干性质，或可独立感兴趣。例如，我们证明存在从 π₀Diff(Σ×S²) 到 ℤ^∞ 的满射映射，其在同伦等价于同一同伦同一性的元素子上具有无限秩。
引用
@article{arxiv.2501.16083,
title = {Dax invariants, light bulbs, and isotopies of symplectic structures},
author = {Jianfeng Lin and Weiwei Wu and Yi Xie and Boyu Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2501.16083},
year = {2026}
}
备注
v5: Minor improvements to the exposition. 59 pages. Comments are welcome!