高阶索博列夫空间与霍奇系统中的逼近

设 $d\geq 2$ 为整数，$1\leq l\leq d-1$，$\varphi$ 为 ${\mathbb R}^d$ 上具 $\dot{W}^{1,d}$ 系数的微分 $l$-形式。Bourgain 与 Brezis (\cite[Theorem 5]{MR2293957}) 证明了存在 ${\mathbb R}^d$ 上系数属于 $L^{\infty}\cap \dot{W}^{1,d}$ 的微分 $l$-形式 $\psi$ 使得 $d\varphi=d\psi$。Bourgain 与 Brezis 还问该结果能否推广到系数为分数阶索博列夫空间 $\dot{W}^{s,p}$（其中 $sp=d$）的微分形式。我们给出此问题的肯定回答，在 Triebel-Lizorkin 空间的更一般背景下，只要 $d-\kappa\leq l\leq d-1$，其中 $\kappa$ 是满足 $\kappa<\min(p,d)$ 的最大正整数。证明依赖于 $\dot{W}^{s,p}$ 中函数被 $\dot{W}^{s,p}\cap L^{\infty}$ 中函数逼近的结果，尽管在此临界情形下 $\dot{W}^{s,p}$ 不嵌入 $L^{\infty}$。