环域的上同调、对偶性以及海森堡群上的$L^\infty$-微分形式

在过去几年中，作者们在海森堡群$\mathbb{H}^n$中针对Rumin复形中的微分形式证明了Poincar\'e与Sobolev型不等式。需要用Rumin复形替代欧氏空间通常的de Rham微分形式复形，是由于海森堡群的李代数具有不同的分层。Rumin复形的关键特征是，根据形式的次数，$d_c$是1阶或2阶微分算子。粗略地说，Poincar\'e与Sobolev型不等式是著名拓扑问题“闭形式是否恰当”的定量表述。更确切地，对适当的$p$与$q$，我们的意思是每个在$L^p$中的恰当微分形式$\omega$容许一个在$L^q$中的原形式$\phi$，使得$\|\phi\|_{L^{q}}\leq C\ \|\omega\|_{L^{p}}$。范数$L^p$（$p\ge 1$且$q<\infty$）的情形已由作者们在一系列论文中研究。在本文中我们处理$q=\infty$的极限情形：值得注意的是，与标量情形不同，当形式$\omega$的次数至少为$2$时，我们可以在不等式左侧取$q=\infty$。欧氏背景$\mathbb{R}^N$中相应的不等式（$p=N$且$q=\infty$）由Bourgain与Brezis证明。