有界亚分析流形的 $L^p$ Hodge 理论

给定有界亚分析子流形，其闭包内可能含有奇点。我们研究具有 $L^p$ 外微分 (以 currents 的形式) 且满足 Dirichlet 或 Neumann 条件的 $L^p$ 微分形式的上同调。我们证明了 $L^p$ Hodge 分解定理、$L^p$ de Rham 定理，以及在 $p$ 较大或接近 1 的情况下，在 $L^p$ 与 $L^{p'}$ 形式之间（其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$）存在的 Lefschetz 二面性定理。通过证明 de Rham 对偶在互补 $L^p$ 微分形式之间诱导的上同调类配对是非退化的来实现上述目标（对于此类 $p$）。实施这一目标的主要难点在于证明当 $p$ 较大时，消失于某些奇点附近且在底层流形闭包内光滑的形式在 Sobolev 微分形式空间中的稠密性（定理 4.1）。该结果虽是独立的兴趣，也使我们能够给出导致我们一些关于 Dirichlet 和 Neumann 条件的显式特征的迹线定理。