带边黎曼流形上调和形式的 cohomology
微分几何
2007-05-23 v1 代数拓扑
摘要
定理。设 M 为具有非空边界的紧致、连通、定向光滑黎曼 n-流形。则 M 上调和形式复形 (Harm*(M),d) 的上同调由直和 H^p(Harm*(M),d) = H^p(M;R) + H^(p-1)(M;R) (p=0,1,...,n) 给出。当 M 为闭流形时,一个形式为调和当且仅当它既闭又余闭。此时复形 (Harm*(M),d) 中所有映射均为零,从而依经典的 Hodge 定理有 H^p(Harm*(M),d) = Harm^p(M) = H^p(M;R)。相反,当 M 连通且具有非空边界时,一个 p-形式可以调和而不既闭又余闭。其中某些形式虽为恰当形式,却不是调和 p-1-形式的 exterior 导数,它们代表了上述定理中出现的 p 维调和上同调内普通 p-1 维上同调的“回响”。
引用
@article{arxiv.math/0508372,
title = {Cohomology of Harmonic Forms on Riemannian Manifolds With Boundary},
author = {Sylvain Cappell and Dennis DeTurck and Herman Gluck and Edward Y. Miller},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0508372},
year = {2007}
}