随机向量不规则泛函逼近的 $L^{q}$ 误差估计

Avikainen 证明,对任意 $p,q \in [1,\infty)$ 以及 $\mathbb{R}$ 中任意有界变差函数 $f$,有 $\mathbb{E}[|f(X)-f(\widehat{X})|^{q}] \leq C(p,q) \mathbb{E}[|X-\widehat{X}|^{p}]^{\frac{1}{p+1}}$,其中 $X$ 是具有有界密度的一维随机变量,$\widehat{X}$ 为任意随机变量。本文中,我们将给出该估计在 $\mathbb{R}^{d}$ 中有界变差函数、Orlicz--Sobolev 空间、变指数 Sobolev 空间以及分数 Sobolev 空间上的多维版本。我们论证的主要思想是运用 Hardy--Littlewood 极大估计以及这些函数空间的点态刻画。我们将主要结果应用于分析随机微分方程解的一些不规则泛函的数值逼近。