一个推广的 Avikainen 估计及其应用

Avikainen 针对任意具有有界密度的一维随机变量 $X$ 与 $\widehat{X}$,以及有界变差函数 $g$,给出了 $\mathbb{E}[|g(X)-g(\widehat{X})|^{q}]$ 之差由 $|X-\widehat{X}|$ 的矩表示的锐上界。在本文中,我们将该估计推广到分布函数具有 H"older 连续性的任意一维随机变量 $X$。作为应用,我们给出了一维随机微分方程(SDEs)数值格式的收敛速率,这些方程由布朗运动与对称 $\alpha$-稳定过程($\alpha \in (1,2)$)、带漂移且 Hurst 参数 $H \in (0,1/2)$ 的分数布朗运动,以及由时空白噪声驱动并带 Dirichlet 边界条件的随机热方程(SHEs)所驱动,且具不规则系数。我们还考虑了由带不规则系数的布朗运动驱动 SDEs 的最大值与积分型泛函的数值格式,以及和多层蒙特卡洛方法相关的偿付。