由分数布朗运动驱动的随机微分方程的 Crank-Nicolson 格式

我们研究了由多维分数布朗运动 $(B^{1}, \dots, B^{m})$ 驱动的随机微分方程（SDE）的 Crank-Nicolson 格式，其 Hurst 参数 $H \in (\frac 12,1)$。众所周知，对于系数正则性满足适当条件的常微分方程，Crank-Nicolson 格式可实现 $n^{-2}$ 的收敛速率，而与维度无关。在本文中我们表明，由于驱动过程 $B^{1}, \dots, B^{m}$ 之间的相互作用，相应的 $m$ 维 SDE 的 Crank-Nicolson 格式比一维 SDE 的速率更慢。确切地说，我们将证明当 $m=1$ 且漂移项为零时，Crank-Nicolson 格式达到精确收敛速率 $n^{-2H}$，而在 $m=1$ 且漂移项非零的情况下，精确速率变为 $n^{-\frac12 -H}$。在 $m>1$ 的一般情况下，精确速率等于 $n^{\frac12 -2H}$。在所有这些情况下，主导误差的极限分布被证明满足某些由独立于给定分数布朗运动的布朗运动驱动的线性 SDE。