求解解耦 FBSDEs 的 Crank-Nicolson 格式的收敛误差估计
数值分析
2017-02-17 v1
摘要
由 Brown 运动驱动的求解后退随机微分方程(BSDE)的 Crank-Nicolson(简称 C-N)格式，最初由作者 W. Zhao, L. Chen 和 S. Peng [SIAM J. Sci. Comput., 28 (2006), 1563--1581] 提出，数值实验表明该 C-N 格式求解 BSDE 的精度为二阶。该 C-N 格式随后由 W. Zhao, Y. Li 和 Y. Fu [Sci. China. Math., 57 (2014), 665--686] 推广至求解解耦的前向-后退随机微分方程(FBSDEs)，并从数值上证明推广后的 C-N 格式精度同样为二阶。据我们所知，在所有求解 BSDE 或 FBSDEs 且具有二阶精度的单步(两层时间)数值格式中，例如上述两篇论文中的格式以及作者 D. Crisan 和 K. Manolarakis [Ann. Appl. Probab., 24, 2 (2014), 652--678] 提出的格式，C-N 格式在实际应用中是最简单的。文献中报道的关于这些格式求解解耦 FBSDEs 的二阶误差估计理论证明并未包含 C-N 格式。本文旨在从理论上分析 C-N 格式求解解耦 FBSDEs 的误差估计。基于 Taylor 和 It\^o-Taylor 展开、Malliavin 变分理论(例如多重 Malliavin 分部积分公式)以及我们新的截断误差消除技术，我们严格证明了 C-N 格式求解解耦 FBSDEs 的强收敛速率为二阶，从而填补了 C-N 格式在二阶数值分析与理论分析之间的空白。
引用
@article{arxiv.1606.06560,
title = {Convergence Error Estimates of the Crank-Nicolson Scheme for Solving Decoupled FBSDEs},
author = {Yang Li and Jie Yang and Weidong Zhao},
journal= {arXiv preprint arXiv:1606.06560},
year = {2017}
}