向量场的近似解及其在非线性偏微分方程解的 Denjoy-Carleman 正则性中的应用

本文研究方程 \begin{equation*} u_t = f(x,t,u,u_x), \end{equation*} 的 $\mathcal{C}^2$ 解 $u$ 的微局部正则性，其中 $f(x,t,\zeta_0, \zeta)$ 在变量 $(x,t)\in \mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}$ 上是超可微的，在变量 $(\zeta_0,\zeta) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}^{N}$ 上是全纯的。我们证明了若 $\mathcal{C}^{\mathcal{M}}$ 是一个正则的 Denjoy-Carleman 类（包括拟解析情形），则：\begin{equation*} \mathrm{WF}_\mathcal{M} (u)\subset \mathrm{Char}(L^u), \end{equation*} 其中 $\mathrm{WF}_\mathcal{M}(u)$ 是 $u$ 的 Denjoy-Carleman 波前集，$\mathrm{Char}(L^u)$ 是线性化算子 $L^u$ 的特征集：\begin{equation*} L^u = \dfrac{\partial}{\partial t} - \sum_{j=1}^{N}\frac{\partial f}{\partial\zeta_j}(x,t,u,u_x)\dfrac{\partial}{\partial x_j}. \end{equation*}