Damek-Ricci 空间上具有渐近凹相位的色散方程的正则性与逐点收敛

我们研究了 Damek-Ricci 空间 $S$ 上色散方程的 Carleson 问题：\n\begin{equation*}\n\begin{cases}\ni\frac{\partial u}{\partial t} +\Psi(\sqrt{-\mathcal{L}} )u=0\:,\: (x,t) \in S \times \mathbb{R} \:, \\\nu(0,\cdot)=f\:,\: \text{ on } S \:,\n\end{cases}\n\end{equation*}\n其中 $\mathcal{L}= \Delta$，即 Laplace-Beltrami 算子，或 $\tilde{\Delta}$，即移位 Laplace-Beltrami 算子，使得相应的相位函数 $\psi$ 对于某个 $a \in (0,1)$ 满足大频率渐近：\n\begin{equation*}\n\psi(\lambda)=\lambda^a + \mathcal{O}(1)\:,\:\: \lambda \gg 1\:.\n\end{equation*}\n对于解 $u$ 向其径向初始数据 $f$ 的几乎处处逐点收敛，我们得到了几乎尖锐的正则性阈值 $\beta>a/4$。即使对于 $\mathbb{R}^n$ 该结果也是全新的，并且在分数阶 Schrödinger 方程这一特殊情形下，推广了 Walther 的经典欧几里得结果。