关于戴梅克--里奇空间上波动方程解的增长估计

设 $\mathcal{L}$ 为左不变的特征拉普拉斯算子，记 $\mathrm{d}\rho$ 为戴梅克--里奇空间 $S$ 上的右 Haar 测度。记 $u(t,x)$ 为波动方程 $\partial_t^2 u-\mathcal{L} u=0$ 的解，其初数据为 $(u,\partial_t u)|_{t=0}=(f,g)$。本文建立了以下锐利的正则性 $L^p$ 估计：对于所有 $t\in\mathbb{R}^*$ 和 $1<p<\infty$，都有\n\begin{align*}\|u(t,\cdot)\|_{L^p(S ,\mathrm{d}\rho)} \lesssim_p (1+|t|)^{2|\frac{1}{p}-\frac{1}{2}|}\|(\mathrm{Id}+\mathcal{L})^{\frac{\alpha_0}{2}}\!f\|_{L^p(S ,\mathrm{d}\rho)}+(1+|t|)\|(\mathrm{Id}+\mathcal{L})^{\frac{\alpha_1}{2}}\!g\|_{L^p(S,\mathrm{d}\rho)} \end{align*} 其中指数 $\alpha_0 = n\left|1/p-1/2\right|$ 和 $\alpha_1 = n\left|1/p-1/2\right| -1$ 达到其临界值。该结果在完全一般的情况下解决了 M"{u}ller、Thiele 和 Vallarino 提出的猜想。