紧致对称空间上各向同性离子声方程的正则性与点态收敛性

本文首先证明，对于在紧致对称空间 $\mathbb{X}=U/K$ 上秩为 $1$ 和 $2$ 的一般各向同性离子声方程，初始数据的 Sobolev 正则性阈值 $\alpha >1/2$ 足以获得解在 $\mathbb{X}$ 上几乎处处的点态收敛性。随后我们聚焦于某些秩为 $1$ 的特殊情况，根据几何和拓扑考虑，证明正则性阈值的充分性可提升至 $\alpha>1/3$，而当 $\alpha<1/4$ 时，薛定谔方程的现象会失败。我们也通过一种新颖的迁移原理，对其他各向同性离子声方程——布斯方程和光束方程（即四阶波动方程）——获得相同的结果，即使对于圆环 $\mathbb{T} \cong SO(2)$ 亦如此，可能具有独立的兴趣。我们的论证涉及源自紧致半简单 Lie 群表示论的谐波分析以及数论。