高斯光束叠加的 Sobolev 与最大范数误差估计

本研究关注高斯光束叠加的精度，它们是线性双曲偏微分方程和薛定谔方程的渐近有效高频解。我们针对精确解与相应高斯光束近似之间的差异，推导了关于短波长 $\varepsilon$ 的 Sobolev 与最大范数估计。估计针对标量波方程和薛定谔方程进行。我们的结果表明，具有 $k$ 阶光束的高斯光束叠加在 $s$ 阶 Sobolev 范数下以 $O(\varepsilon^{k/2-s})$ 收敛到精确解。该结果在任意空间维数下成立，且不受解中焦散存在的影响。在最大范数下，我们证明在远离焦散处收敛率为 $O(\varepsilon^{\lceil k/2\rceil})$，而在远离解的本质支撑集处，收敛关于 $\varepsilon$ 是谱收敛。然而，在焦散点邻域内，我们仅能给出在 $n$ 个空间维数下较慢且依赖于维数的速率 $O(\varepsilon^{(k-n)/2})$。