源于河流分汊的 2+1 维扩散-色散偏微分方程分析

我们针对源于 P. Hall 河流分汊建模的以下 $2+1$ 维色散扩散方程,利用 Bourgain 型空间 $T_{s,b}$ 中的压缩映射论证,给出了局部存在性与唯一性结果:$$u_{yyt} - \gamma u_{xxx} -\alpha u_{yyyy} - \beta u_{yy} + \left (u^2 \right)_{xyy} = 0$$ 其中 $(x,y) \in [0, 2\pi] \times [0, \pi]$, $t> 0$,边界条件为在 $y=0$ 和 $y=\pi$ 处 $u_{y}=0=u_{yyy}$,且在 $x$ 方向具有 $2\pi$ 周期性。我们还证明了能量 $\| u \|^2_{L^2}$ 和累积耗散 $\int_0^t \| u_y \|_{L^2}^2 dt$ 在时间上是全局受控的。